Статистика
4. При визначенні довірчого інтервалу, в якому знаходиться наближене значення характеристик генеральної сукупності.
6.2.3. Розподіл Стьюдента
При розгляді питання середньої арифметичної у вибірках, які взяті з генеральної сукупності і підпорядковуються закону нормального розподілу, стає очевидним те, що цей розподіл залежить від середнього квадратичного відхилення (0^).
У практичних розрахунках значення генерального 0^, як правило, невідоме, що призводить до певних розрахункових ускладнень. Ця обставина спонукала англійського статистика В.С.Госсета (він друкувався під псевдонімом Стьюдент) зайнятися пошуком такого розподілу середньої арифметичної, який не залежав би від параметра °.
Поставлена задача Стьюдентом була вирішена у 1908 р. (у цей час він був службовцем на пивоварному заводі у м. Дубліні).
Відкритий закон розподілу підняв на нову сходинку теорію статистичного оцінювання і теорію перевірки статистичних гіпотез. У чому ж виражається розподіл, досліджуваний Стьюдентом? Він
х - X - = t
встановив, що імовірність нормованого відхилення а (пізніше Р.Фішер створив більш строгий теоретичний
фундамент:
виражається
рівнянням:
де P(t) - імовірність того, що стандартизована різниця між ~ і х має величину t; C - деякий коефіцієнт, який залежить від обсягу вибірки. Величина його становить:
де
- гама - функції.
Повна формула закону розподілу нормованого відхилення має вигляд:
Закону розподілу t-Стьюдента підпорядковуються малі вибірки, які одержані з нормального розподілу сукупностей. Характерною особливістю даного розподілу є те, що ймовірність значення t залежить від двох величин: обсягу вибірки (п) і нормованого відхилення (t) . Причому n береться числом ступенів вільності ( \)=п- 1).
При збільшенні чисельності вибіркової сукупності розподіл Стьюдента наближається до нормального:
|
|
У спеціальній літературі є доведення, що при необмеженому зростанні обсягу вибірки розподіл Стьюдента прагне до нормального закону розподілу.
Якщо вибірка достотно мала (n < 15), розподіл імовірностей буде відрізнятися від нормального і тим більше, чим менший обсяг вибірки. Крива розподілу у таких випадках ніби розтягується (рис.15). Із збільшенням обсягу вибірки розподіл Стьюдента досить швидко наближається до нормального, зокрема, при n = 20 він практично не відрізняється від нього.
|
Рис. 17. Розподіл Стьюдента (I) на фоні нормальної кривої (2) |
Із сказаного виходить, що розподіл Стьюдента являє собою частковий випадок нормального розподілу і відображає специфіку варіації для нечисленної вибірки, яка розподіляється за нормальним законом розподілу залежно від n .
Показники рівнів імовірності (P(t)), що розподіляється за законом Стьюдента, дано в стандартній математичній таблиці «Імовірності t-розподілу по Стьюденту для малих вибірок (у межах ± t)» (додаток2). У цій таблиці наведені рівні ймовірностей P для кожного значення нормованого відхилення t при визначеному обсязі вибірки, який береться «числом ступенів вільності». Тому положення про те, що кожному обсягу вибірки відповідає певне значення t, необхідно уточнити. Тут очевидна доцільність формулювання: кожному числу ступенів вільності відповідає t-розподіл. Розглянемо приклад.
Крім розглянутої вище стандартної таблиці, широке практичне застосування знаходить інша математична таблиця значень критерію t для різних рівнів значимості а= 1-P. Вона дозволяє (при певному рівні а) встановити можливі границі випадкових коливань вибіркової середньої (*), а також знайти довірчий інтервал, який покриває середню арифметичну у генеральній сукупності (додаток 1).
1 ... 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 ... 164 Повернутися на початок книги
